Qu'est-ce que le tramage ? Utilisation du dithering pour éliminer la distorsion de quantification

Parfois, le bruit électronique peut être une bénédiction déguisée. Dans cet article, nous examinerons le "dithering", qui fait référence à une technique dans laquelle une composante de bruit appropriée est ajoutée au signal pour améliorer les performances du système de conversion A/N (analogique-numérique).

La plupart des EE connaissent les méthodes de limitation des niveaux de bruit dans les circuits électroniques. Le filtrage est une technique courante qui peut être appliquée pour éliminer une composante de bruit ou au moins limiter sa bande passante. Dans certaines applications, telles que les casques antibruit et les amplificateurs à faible bruit (LNA) antibruit, nous pouvons même mesurer la composante de bruit dominante et la soustraire de la sortie du système pour obtenir les performances souhaitées.

Malgré ces applications, il existe des systèmes de conversion analogique-numérique où nous avons besoin de bruit pour améliorer les performances du circuit. Cette technique de traitement du signal, connue sous le nom de tramage, ajoute délibérément un signal de bruit avec PDF (fonction de densité de probabilité) et PSD (densité spectrale de puissance) appropriés à l'entrée ADC (convertisseur analogique-numérique) (avant échantillonnage et quantification) pour améliorer certains aspects de performance du système. La figure 1 montre le schéma fonctionnel simplifié d'un système tramé (le schéma représente un type de tramage connu sous le nom de tramage non soustractif).

La première fois que l'on apprend le tramage, on peut trouver contre-intuitif qu'un certain niveau de bruit puisse être utile dans certaines situations. La technique de tramage peut être appliquée à trois fins différentes :

Dans cet article, nous verrons comment le tramage peut améliorer un quantificateur idéal en brisant la corrélation statistique entre l'erreur de quantification et le signal d'entrée, mais avant cela, nous devons rafraîchir le bruit de quantification ADC.

Un ADC représente une plage continue de valeurs analogiques à travers plusieurs niveaux discrets, ce qui ajoute intrinsèquement une erreur connue sous le nom d'erreur de quantification. Des recherches importantes ont été menées pour bien comprendre cette erreur. L'histoire de la recherche remonte en fait à un article de 1948 de WR Bennett, "Spectra of Quantized Signals". Aujourd'hui, il est bien connu que, sous certaines conditions, l'erreur de quantification peut être modélisée comme un bruit additif avec une distribution uniforme entre \(\pm \frac{LSB}{2}\) LSB2 (LSB désignant le bit le moins significatif de le convertisseur).

De plus, le bruit de quantification est supposé être un bruit blanc (c'est-à-dire réparti uniformément sur la bande passante de Nyquist dc à fs/2.) avec une puissance totale égale à \(\frac{LSB^{2}}{12}\). La propriété de spectre plat est basée sur l'hypothèse que les échantillons d'erreur de quantification ne sont pas corrélés les uns avec les autres.

Nous appellerons ce modèle d'erreur de quantification le "modèle de bruit de quantification" tout au long de cet article. Nous discuterons brièvement du fait que le modèle de bruit de quantification n'est pas toujours valide ; cependant, il est encore suffisamment précis pour de nombreuses applications pratiques. L'exemple suivant montre pourquoi les EE traitant des convertisseurs de données adorent ce modèle !

Considérons une application où la tension de référence de l'ADC est de 2 V. Supposons que le signal d'entrée ADC a un bruit de 1 mV RMS (root-mean-square). Avec un ADC 10 bits, le LSB est \(\frac{2}{2^{10}}\) = 1,95 mV, et donc, la valeur RMS du bruit est égale à 0,51 LSB.

D'après le modèle de bruit de quantification, nous savons que l'opération de quantification ajoute un bruit RMS de \(\frac{LSB}{\sqrt{12}}\) = 0,29 LSB.

Comme vous pouvez le voir, le bruit de quantification est comparable au bruit d'origine provenant de l'entrée. Pour trouver la puissance de bruit totale du système, nous devons additionner la puissance des deux sources de bruit :

\[P_{Bruit, \text{ }total}=P_{entrée}+P_{quantification}=(0,51 \text{ }LSB)^2+(0,29 \text{ }LSB)^2=0,34 \text{ } LSB^2\]

Prendre la racine carrée de cette valeur donne le RMS du bruit total de 0,59 LSB. Si ce niveau de bruit n'est pas acceptable pour notre application, nous pouvons augmenter la résolution ADC pour réduire le bruit de quantification. Par exemple, avec un ADC 12 bits, le bruit d'entrée est de 2,05 LSB RMS. Comparé au bruit d'entrée, le bruit de quantification (0,29 LSB) est maintenant presque négligeable. Le bruit total RMS est de 2,07 LSB pour cet exemple. Un système 12 bits semble fournir une résolution suffisante pour cette application.

Ayant le bruit total présent dans notre signal, nous pouvons déterminer le rapport signal sur bruit (SNR) dans une application AC ou le signal minimum détectable dans une application de mesure. Le point important ici est que le modèle de bruit nous permet de considérer facilement l'effet du processus de quantification sur les performances de bruit du système.

En remarque, il convient de mentionner que la discussion ci-dessus suppose implicitement que le bruit dominant ajouté par l'ADC est le bruit de quantification. Ce n'est pas toujours le cas. À mesure que nous augmentons la résolution ADC, le bruit de quantification devient de plus en plus petit. À un moment donné, le bruit de quantification devient négligeable par rapport au bruit électronique à l'intérieur du CAN qui est produit par le bruit thermique et le bruit de scintillement des circuits internes du CAN. C'est le cas des ADC ΔΣ (delta-sigma) haute résolution actuels. Si le bruit de quantification est négligeable, le bruit crête à crête référé à l'entrée du CAN doit être pris en compte pour analyser les performances de bruit du système.

Une implication du modèle de bruit de quantification est que l'erreur n'est pas corrélée avec l'entrée. Pour mieux comprendre cela, considérons les formes d'onde de la figure 2.

La courbe de gauche dans la figure ci-dessus représente deux périodes d'une onde sinusoïdale quantifiée de 10 bits. La courbe de droite montre l'erreur de quantification. Dans cet exemple, le rapport de la fréquence d'échantillonnage à la fréquence d'entrée est de 150. Vous pouvez confirmer par inspection visuelle que l'erreur de quantification est périodique (une période est indiquée par le rectangle orange). De plus, il existe une corrélation entre l'entrée et le signal d'erreur de quantification. De cela, nous savons que le contenu fréquentiel d'un signal périodique se concentre sur des multiples de la fréquence fondamentale du signal. Cela signifie que tandis que le modèle de bruit de quantification s'attend à ce que l'erreur ait un spectre de fréquence plat, l'erreur de quantification a certaines composantes de fréquence fortes.

Il s'agit d'un problème général : si l'entrée est une sinusoïde et que la fréquence d'échantillonnage est un multiple de la fréquence d'entrée, l'erreur de quantification est corrélée au signal d'entrée. Un autre exemple est illustré à la figure 3.

La courbe de gauche montre le spectre d'un CAN 12 bits idéal lorsque l'entrée est une sinusoïde de 2 MHz et que la fréquence d'échantillonnage est de 80 MSPS. La courbe de droite montre le spectre du même CAN pour une sinusoïde de 2,111 MHz échantillonnée à la même fréquence d'échantillonnage. Comme prévu, différentes harmoniques de la fréquence d'entrée sont produites à la sortie lorsque le rapport de la fréquence d'échantillonnage à la fréquence d'entrée est un nombre entier. Pour la courbe de gauche, la plage dynamique libre parasite (SFDR) du système n'est que de 77 dBc. En modifiant légèrement la fréquence d'entrée, les composantes harmoniques disparaissent et nous obtenons un bruit de fond d'aspect herbeux.

Notez que la valeur RMS de l'erreur de quantification est la même dans les deux cas, conduisant à un SNR de 74 dBc (la valeur théorique pouvant être obtenue par un ADC 12 bits). Dans les deux cas, l'erreur RMS est cohérente avec la valeur prédite par le modèle de bruit de quantification \((\frac{LSB}{\sqrt{12}})\); cependant, le spectre de fréquence de l'erreur n'est pas plat dans le diagramme de gauche.

Les composants harmoniques ci-dessus sont un artefact du processus de quantification et ne sont pas liés aux performances du circuit ADC. Cela met en évidence une mise en garde importante concernant les tests ADC : le spectre que nous obtenons pour un test de transformée de Fourier rapide (FFT) à onde sinusoïdale monotone sera affecté par les artefacts du processus de quantification si le signal d'entrée est un sous-multiple exact de la fréquence d'échantillonnage.

Pour résumer, si l'erreur de quantification est corrélée à l'entrée, nous ne pouvons pas supposer que l'ADC augmente uniquement le bruit de fond de l'entrée. Dans ce cas, le modèle de bruit de quantification n'est plus valide et le processus de quantification peut produire des composantes harmoniques significatives dans le spectre de sortie. Normalement, nous préférons que l'énergie d'erreur se propage sur une large bande de fréquences plutôt que de se concentrer sur certaines fréquences spécifiques.

La quantification des signaux de faible amplitude peut également conduire à une corrélation entre l'erreur de quantification et l'entrée. Un exemple d'application où les signaux de faible amplitude peuvent poser problème est celui des systèmes audio numériques. Supposons que l'amplitude de l'entrée ADC tombe à 0,75 LSB, comme illustré à la Figure 4.

Comme vous pouvez le voir, le signal quantifié ne prend que trois valeurs différentes et a une forme d'onde carrée. Nous savons que le spectre d'une onde carrée contient différentes harmoniques de la fréquence fondamentale. Dans l'exemple ci-dessus, l'entrée est une sinusoïde de 1,11 kHz et la fréquence d'échantillonnage est de 400 kHz (choisie délibérément pour être beaucoup plus élevée que celle requise par le théorème d'échantillonnage de Nyquist). La FFT de la sortie est illustrée à la Figure 5.

Bien que la fréquence d'entrée (1,11 kHz) ne soit pas un sous-multiple de la fréquence d'échantillonnage (400 kHz), le spectre contient des composantes harmoniques importantes. Ces harmoniques sont plus facilement discernables dans la version agrandie du spectre fourni à la figure 6.

Pour examiner la technique de tramage, nous ajoutons du bruit avec une distribution triangulaire au signal ci-dessus, puis nous le quantifions. La largeur du tramage triangulaire pdf (fonction de densité de probabilité) est prise égale à 2 LSB. Les formes d'onde sont illustrées à la figure 7.

Dans le domaine temporel, il semble que l'information soit perdue, mais qu'en est-il du domaine fréquentiel ? Le spectre du nouveau signal quantifié (courbe rouge ci-dessus) est représenté sur la figure 8.

Le dithering élimine les composantes harmoniques. En effet, l'énergie des composantes harmoniques est répartie sur une large bande de fréquence. Par conséquent, nous nous attendons à ce que le bruit de fond augmente légèrement lorsque nous appliquons la technique de tramage. En plus de cet effet, le bruit de tramage ajouté à l'entrée contribue également à l'augmentation du bruit de fond.

L'exemple ci-dessus montre clairement l'intérêt du tramage dans les applications d'analyse spectrale. Cependant, il est intéressant de noter que même sans transformer le signal dans le domaine fréquentiel, nous pouvons bénéficier du dithering. Par exemple, en audio numérique, l'augmentation du bruit de fond sans caractéristiques (due au tramage) est perceptuellement beaucoup plus acceptable que les harmoniques artificielles introduites par le quantificateur.

Une implication du modèle de bruit de quantification est que l'erreur de quantification n'est pas corrélée avec l'entrée. Lorsque ce n'est pas le cas, l'opération de quantification introduit un type de distorsion parfois appelé "distorsion de quantification". En ajoutant le bruit de vibration, la corrélation entre l'erreur de quantification et l'entrée est éliminée. Ceci élimine par conséquent les composantes harmoniques produites par l'opération de quantification. De cette manière, le tramage peut améliorer les performances d'un quantificateur idéal. Comme mentionné ci-dessus, le tramage est également appliqué à plusieurs autres fins. Dans le prochain article de cette série, nous approfondirons cette discussion.

Enfin, il convient de mentionner que dans la plupart des systèmes, le signal d'entrée a suffisamment de bruit, il n'est donc pas nécessaire d'ajouter un bruit de tramage supplémentaire pour rompre la corrélation entre le bruit de quantification et l'entrée. De plus, le bruit référé à l'entrée de l'ADC peut être suffisant pour produire le même effet de tramage.

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